Menguasai Matematika SMK Kelas XI Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Jawaban

Matematika, seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, memegang peranan penting dalam kurikulum Sekolah Menengah Kejuruan (SMK). Di kelas XI semester 2, materi matematika dirancang untuk membekali siswa dengan pemahaman konsep yang lebih mendalam dan kemampuan aplikatif yang relevan dengan dunia industri. Artikel ini akan membahas secara komprehensif materi-materi kunci yang umum diajarkan pada semester ini, dilengkapi dengan contoh soal beserta pembahasan lengkapnya. Tujuannya adalah untuk membantu siswa SMK kelas XI dalam mempersiapkan diri menghadapi ulangan harian, penilaian tengah semester (PTS), dan penilaian akhir semester (PAS) dengan lebih percaya diri.

Ruang Lingkup Materi Matematika SMK Kelas XI Semester 2

Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah dan program keahlian, beberapa topik umum yang seringkali dibahas di Matematika SMK kelas XI semester 2 meliputi:

Statistika Deskriptif dan Inferensial Tingkat Lanjut: Melanjutkan pemahaman dari semester sebelumnya, topik ini akan lebih mendalami analisis data, termasuk ukuran pemusatan, penyebaran, serta pengenalan dasar tentang bagaimana menarik kesimpulan dari sampel ke populasi.

Menguasai Statistik Data: Contoh Soal dan Jawaban untuk Siswa Kelas 4 SD Semester 2

Pelabuhan (Probability): Memahami konsep peluang kejadian sederhana, kejadian majemuk, serta penerapannya dalam berbagai konteks.
Geometri Ruang: Mempelajari sifat-sifat bangun ruang, perhitungan luas permukaan, volume, serta kedudukan garis, bidang, dan titik dalam ruang.
Trigonometri Dasar dan Aplikasi: Mengulang dan memperdalam pemahaman tentang rasio trigonometri, identitas trigonometri, serta aplikasinya dalam penyelesaian masalah di dunia nyata.
Limit Fungsi Aljabar: Pengenalan konsep limit sebagai dasar untuk kalkulus, termasuk cara menghitung limit fungsi aljabar.
Diferensial (Turunan) Tingkat Dasar: Memahami konsep turunan sebagai laju perubahan dan penerapannya untuk mencari gradien garis singgung, nilai maksimum/minimum, serta masalah optimasi sederhana.

Mari kita bedah setiap topik dengan contoh soal dan jawaban.

1. Statistika Deskriptif dan Inferensial Tingkat Lanjut

Statistika merupakan alat fundamental untuk mengolah dan memahami data. Di semester ini, fokusnya adalah pada interpretasi data yang lebih kompleks.

Contoh Soal 1:
Data hasil ujian matematika 30 siswa disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut:

Nilai Ujian	Frekuensi
50-59	4
60-69	8
70-79	12
80-89	6

Tentukan:
a. Nilai rata-rata (mean) dari data tersebut.
b. Median dari data tersebut.
c. Modus dari data tersebut.

Jawaban Soal 1:

Untuk menghitung ukuran pemusatan pada data berkelompok, kita perlu menentukan titik tengah setiap interval kelas.

Nilai Ujian	Frekuensi (f)	Titik Tengah (x)	fx
50-59	4	54.5	218
60-69	8	64.5	516
70-79	12	74.5	894
80-89	6	84.5	507
Jumlah	30		2135

a. Nilai Rata-rata (Mean):
Rumus rata-rata data berkelompok: $barx = fracsum fxsum f$
$barx = frac213530 = 71.17$
Jadi, nilai rata-rata ujian matematika adalah 71.17.

b. Median:
Median adalah nilai tengah. Untuk data berkelompok, median terletak pada kelas ke-n/2.
n = 30, maka n/2 = 15. Data ke-15 terletak pada kelas 70-79.
Rumus Median: $Me = tb + (fracfrac12n – Ff)p$
Dimana:

$tb$ = tepi bawah kelas median = 70 – 0.5 = 69.5
$n$ = jumlah data = 30
$F$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas median = 4 (kelas 50-59) + 8 (kelas 60-69) = 12
$f$ = frekuensi kelas median = 12
$p$ = panjang kelas interval = 10 (misal: 59.5 – 49.5)

$Me = 69.5 + (fracfrac12(30) – 1212)10$
$Me = 69.5 + (frac15 – 1212)10$
$Me = 69.5 + (frac312)10$
$Me = 69.5 + (frac14)10$
$Me = 69.5 + 2.5 = 72$
Jadi, median nilai ujian adalah 72.

c. Modus:
Modus adalah nilai dengan frekuensi tertinggi. Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi terbanyak, yaitu kelas 70-79 dengan frekuensi 12.
Rumus Modus: $Mo = tb + (fracd_1d_1+d_2)p$
Dimana:

$tb$ = tepi bawah kelas modus = 70 – 0.5 = 69.5
$d_1$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya = 12 – 8 = 4
$d_2$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya = 12 – 6 = 6
$p$ = panjang kelas interval = 10

$Mo = 69.5 + (frac44+6)10$
$Mo = 69.5 + (frac410)10$
$Mo = 69.5 + 4 = 73.5$
Jadi, modus nilai ujian adalah 73.5.

2. Pelabuhan (Probability)

Probabilitas membantu kita mengukur kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.

Contoh Soal 2:
Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika diambil satu bola secara acak, tentukan peluang terambilnya:
a. Bola merah
b. Bola biru atau hijau
c. Bola bukan merah

Jawaban Soal 2:

Jumlah total bola dalam kotak adalah $5 + 3 + 2 = 10$ bola.

a. Peluang terambilnya bola merah:
Jumlah bola merah = 5
Peluang (Merah) = $fractextJumlah bola merahtextJumlah total bola = frac510 = frac12$

b. Peluang terambilnya bola biru atau hijau:
Ini adalah kejadian saling lepas, sehingga peluangnya dijumlahkan.
Jumlah bola biru = 3
Jumlah bola hijau = 2
Peluang (Biru atau Hijau) = Peluang (Biru) + Peluang (Hijau)
Peluang (Biru) = $frac310$
Peluang (Hijau) = $frac210$
Peluang (Biru atau Hijau) = $frac310 + frac210 = frac510 = frac12$

c. Peluang terambilnya bola bukan merah:
Bola bukan merah berarti bola biru atau bola hijau.
Atau, kita bisa menggunakan konsep komplemen: Peluang (Bukan Merah) = 1 – Peluang (Merah).
Peluang (Bukan Merah) = $1 – frac12 = frac12$
Atau, menggunakan cara pertama:
Jumlah bola bukan merah = Jumlah bola biru + Jumlah bola hijau = 3 + 2 = 5
Peluang (Bukan Merah) = $frac510 = frac12$

3. Geometri Ruang

Geometri ruang mempelajari objek tiga dimensi seperti kubus, balok, prisma, dan limas.

Contoh Soal 3:
Sebuah limas segiempat beraturan memiliki alas persegi dengan panjang sisi 10 cm dan tinggi limas 12 cm. Tentukan:
a. Luas alas limas.
b. Luas permukaan limas.
c. Volume limas.

Jawaban Soal 3:

a. Luas Alas Limas:
Alas limas berbentuk persegi dengan sisi 10 cm.
Luas Alas = sisi $times$ sisi = $10 times 10 = 100$ cm$^2$.

b. Luas Permukaan Limas:
Luas permukaan limas = Luas Alas + Luas Selimut.
Luas Selimut = jumlah luas segitiga sisi tegak. Karena alasnya persegi dan limasnya beraturan, keempat segitiga sisi tegaknya kongruen.
Untuk mencari luas segitiga, kita perlu tinggi segitiga sisi tegak (tinggi apotema).
Misalkan tinggi apotema adalah $t_a$. Perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi limas (12 cm), setengah panjang sisi alas (5 cm), dan tinggi apotema ($t_a$).
Menggunakan teorema Pythagoras:
$t_a^2 = (texttinggi limas)^2 + (frac12textsisi alas)^2$
$t_a^2 = 12^2 + 5^2$
$t_a^2 = 144 + 25 = 169$
$t_a = sqrt169 = 13$ cm.

Luas satu segitiga sisi tegak = $frac12 times textalas segitiga times texttinggi segitiga$
Luas satu segitiga sisi tegak = $frac12 times 10 times 13 = 65$ cm$^2$.
Luas Selimut = $4 times$ Luas satu segitiga sisi tegak = $4 times 65 = 260$ cm$^2$.

Luas Permukaan Limas = Luas Alas + Luas Selimut = $100 + 260 = 360$ cm$^2$.

c. Volume Limas:
Rumus Volume Limas = $frac13 times textLuas Alas times texttinggi limas$
Volume = $frac13 times 100 times 12$
Volume = $100 times 4 = 400$ cm$^3$.

4. Trigonometri Dasar dan Aplikasi

Trigonometri mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga.

Contoh Soal 4:
Sebuah tiang bendera memiliki tinggi 15 meter. Dari jarak 20 meter dari kaki tiang, seorang pengamat melihat puncak tiang dengan sudut elevasi $alpha$.
a. Gambarkan situasi ini dalam diagram.
b. Tentukan nilai tan $alpha$.
c. Jika pengamat tersebut mundur sejauh 10 meter lagi, tentukan sudut elevasi baru $beta$.

Jawaban Soal 4:

a. Diagram:
Kita bisa menggambar segitiga siku-siku.

Sisi tegak (depan sudut elevasi) adalah tinggi tiang bendera = 15 m.
Sisi datar (samping sudut elevasi) adalah jarak dari kaki tiang ke pengamat.
Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk antara garis pandang pengamat ke puncak tiang dengan garis horizontal.

Situasi 1 (Sudut $alpha$):
Tinggi tiang = 15 m
Jarak pengamat = 20 m
Sudut elevasi = $alpha$

Situasi 2 (Sudut $beta$):
Tinggi tiang = 15 m
Jarak pengamat baru = 20 m + 10 m = 30 m
Sudut elevasi = $beta$

b. Nilai tan $alpha$:
Dalam segitiga siku-siku, tan sudut = $fractextsisi depantextsisi samping$.
tan $alpha = fractextTinggi TiangtextJarak Pengamat = frac1520 = frac34$

c. Sudut elevasi baru $beta$:
Sekarang jarak pengamat adalah 30 meter.
tan $beta = fractextTinggi TiangtextJarak Pengamat Baru = frac1530 = frac12$
Untuk menemukan nilai $beta$, kita perlu menggunakan fungsi arctan (invers tangen):
$beta = arctan(frac12)$
Menggunakan kalkulator, $beta approx 26.57^circ$.
Jadi, sudut elevasi baru adalah $arctan(0.5)$ atau sekitar $26.57^circ$.

5. Limit Fungsi Aljabar

Limit fungsi adalah konsep dasar dalam kalkulus yang menjelaskan perilaku fungsi ketika inputnya mendekati suatu nilai tertentu.

Contoh Soal 5:
Tentukan nilai dari limit berikut:
a. $limx to 3 (2x^2 – 5x + 1)$
b. $limx to 2 fracx^2 – 4x – 2$
c. $lim_x to 1 fracx – 1sqrtx – 1$

Jawaban Soal 5:

a. Substitusi Langsung:
Untuk fungsi polinomial, kita bisa langsung substitusikan nilai $x$ ke dalam fungsi.
$lim_x to 3 (2x^2 – 5x + 1) = 2(3)^2 – 5(3) + 1$
$= 2(9) – 15 + 1$
$= 18 – 15 + 1 = 4$

b. Bentuk Tak Tentu (0/0), Faktorisasi:
Jika disubstitusikan langsung, kita mendapatkan $frac2^2 – 42 – 2 = frac00$, yang merupakan bentuk tak tentu. Kita perlu menyederhanakan fungsi terlebih dahulu.
$limx to 2 fracx^2 – 4x – 2 = limx to 2 frac(x – 2)(x + 2)x – 2$
Kita bisa mencoret $(x-2)$ karena $x to 2$ berarti $x neq 2$.
$= lim_x to 2 (x + 2)$
Sekarang substitusikan $x=2$:
$= 2 + 2 = 4$

c. Bentuk Tak Tentu (0/0), Mengalikan dengan Sekawan:
Jika disubstitusikan langsung, kita mendapatkan $frac1 – 1sqrt1 – 1 = frac00$, bentuk tak tentu. Kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut.
Sekawan dari $sqrtx – 1$ adalah $sqrtx + 1$.
$limx to 1 fracx – 1sqrtx – 1 = limx to 1 fracx – 1sqrtx – 1 times fracsqrtx + 1sqrtx + 1$
$= limx to 1 frac(x – 1)(sqrtx + 1)(sqrtx)^2 – 1^2$
$= limx to 1 frac(x – 1)(sqrtx + 1)x – 1$
Coret $(x-1)$:
$= lim_x to 1 (sqrtx + 1)$
Substitusikan $x=1$:
$= sqrt1 + 1 = 1 + 1 = 2$

6. Diferensial (Turunan) Tingkat Dasar

Turunan mengukur laju perubahan sesaat dari suatu fungsi.

Contoh Soal 6:
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut:
a. $f(x) = 3x^4 – 2x^3 + 5x – 7$
b. $f(x) = (2x + 1)(x^2 – 3)$
c. $f(x) = fracx^2 + 1x – 1$

Jawaban Soal 6:

Kita akan menggunakan aturan dasar turunan:

$fracddx(c) = 0$ (turunan konstanta adalah nol)
$fracddx(x^n) = nx^n-1$ (aturan pangkat)
$fracddx(cf(x)) = c f'(x)$ (aturan kelipatan konstanta)
$fracddx(f(x) pm g(x)) = f'(x) pm g'(x)$ (aturan penjumlahan/pengurangan)
Aturan Perkalian: $(uv)’ = u’v + uv’$
Aturan Pembagian: $(fracuv)’ = fracu’v – uv’v^2$

a. Menggunakan Aturan Pangkat dan Penjumlahan/Pengurangan:
$f(x) = 3x^4 – 2x^3 + 5x^1 – 7x^0$
$f'(x) = fracddx(3x^4) – fracddx(2x^3) + fracddx(5x) – fracddx(7)$
$f'(x) = (4 cdot 3)x^4-1 – (3 cdot 2)x^3-1 + (1 cdot 5)x^1-1 – 0$
$f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5x^0$
$f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5$

b. Menggunakan Aturan Perkalian:
Misalkan $u = 2x + 1$ dan $v = x^2 – 3$.
Maka $u’ = fracddx(2x+1) = 2$
Dan $v’ = fracddx(x^2-3) = 2x$

$f'(x) = u'v + uv'$
$f'(x) = (2)(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x)$
$f'(x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x$
$f'(x) = 6x^2 + 2x - 6$

c. Menggunakan Aturan Pembagian:
Misalkan $u = x^2 + 1$ dan $v = x – 1$.
Maka $u’ = fracddx(x^2+1) = 2x$
Dan $v’ = fracddx(x-1) = 1$

$f'(x) = fracu'v - uv'v^2$
$f'(x) = frac(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)(x - 1)^2$
$f'(x) = frac2x^2 - 2x - x^2 - 1(x - 1)^2$
$f'(x) = fracx^2 - 2x - 1(x - 1)^2$

Kesimpulan

Memahami dan menguasai materi Matematika Kelas XI Semester 2 merupakan langkah penting untuk keberhasilan studi lebih lanjut di SMK maupun dalam memasuki dunia kerja. Dengan latihan yang konsisten dan pemahaman mendalam terhadap konsep-konsep yang telah dibahas, siswa diharapkan dapat meningkatkan kemampuan analitis dan problem-solving mereka. Ingatlah bahwa matematika adalah sebuah proses belajar yang berkelanjutan; jangan ragu untuk bertanya kepada guru dan teman, serta mencari sumber belajar tambahan jika diperlukan. Selamat belajar dan sukses!

Visit Us

Email Us

Call Us